Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh và SAEF = cos^2A.SABC. b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC
Lời giải
a) Xét ∆BAE và ∆CAF, có:
\(\widehat A\) chung;
\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\).
Xét ∆AEF và ∆ABC, có:
\(\widehat A\) chung;
\(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\left( {do\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}} \right)\).
Do đó (c.g.c).
Ta có \(\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BE}}{{\frac{1}{2}AC.BE}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).
Tương tự, ta có \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).
Suy ra \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}}.\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AF}}{{AB}}.\frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AF}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\).
Vậy SAEF = cos2A.SABC.
b) Gọi I là điểm đối xứng của C qua H. Suy ra HC = HI.
Ta có M là trung điểm BC và H và trung điểm CI.
Suy ra HM là đường trung bình của tam giác BCI.
Do đó HM // BI.
Mà HM ⊥ PH (giả thiết).
Suy ra BI ⊥ PH.
Tam giác BHI có hai đường cao HP, BF cắt nhau tại P.
Suy ra P là trực tâm của tam giác BHI.
Do đó PI ⊥ BH.
Mà BH ⊥ AC (giả thiết).
Vì vậy PI // AC.
Xét ∆HPI và ∆HQC, có:
\(\widehat {PHI} = \widehat {QHC}\) (cặp góc đối đỉnh);
HI = HC (giả thiết);
\(\widehat {HIP} = \widehat {HCQ}\) (do PI // AC, cặp góc so le trong).
Do đó ∆HPI = ∆HQC (g.c.g).
Suy ra HP = HQ.
c) Ta cần chứng minh: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
Thật vậy: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\tan A.\tan B}} + \frac{1}{{\tan B.\tan C}} + \frac{1}{{\tan A.\tan C}} = 1\)
⇔ tanC + tanA + tanB = tanA.tanB.tanC.
Ta có \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}}\].
⇒ tanA + tanB = (1 – tanA.tanB).tan(A + B)
⇒ tanA + tanB + tanC = (1 – tanA.tanB).tan(π – C) + tanC
⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC.(1 – tanA.tanB) + tanC
⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC + tanA.tanB.tanC + tanC
⇒ tanA.tanB.tanC = tanA.tanB.tanC (luôn đúng).
Vì vậy ta có cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
Ta có (cotA + cotB + cotC)2
= cot2A + cot2B + cot2C + 2cotA.cotB + 2cotB.cotC + 2cotC.cotA
\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cot A - \cot B} \right)}^2} + {{\left( {\cot B - \cot C} \right)}^2} + {{\left( {\cot C - \cot A} \right)}^2}} \right]\)
\( + 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right) \ge 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right)\)
= 3.1 = 3.
Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).