Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng

5/6

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm E. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm N $\left( {N \ne A} \right)$. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B, C cắt nhau tại điểm D.

1. Chứng minh AOND là tứ giác nội tiếp và tia DO là phân giác của góc $\widehat {ADN}$.

2. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm P $\left( {P \ne A} \right)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME cắt đường tròn (O) tại điểm F $\left( {F \ne A} \right)$. Chứng minh $AB.PC = AC.PB$ và ba điểm E, F, P thẳng hàng.

3. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh 3 điểm D, K, F thẳng hàng và đường thẳng FN đi qua trung điểm của đoạn thẳng DM.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng (ảnh 1)$

1. Xét đường tròn (O): $BD \bot BO,\;CD \bot CO$ (tính chất tiếp tuyến)

$ \Rightarrow \widehat {DBO} = \widehat {DCO} = {90^\diamondsuit }$$ \Rightarrow \widehat {DBO} + \widehat {DCO} = {180^\diamondsuit }$

$ \Rightarrow $Tứ giác OBDC nội tiếp

Lại có $OB = OC,\;MB = MC,\;DB = DC$

$ \Rightarrow O,\;M,\;D$ cùng thuộc trung trực của đoạn BC

Suy ra $MO.MD = MB.MC$

Mà tứ giác ABNC nội tiếp $ \Rightarrow MB.MC = MA.MN$

$ \Rightarrow MO.MD = MA.MN$$ \Rightarrow $ Tứ giác AOND nội tiếp

$ \Rightarrow DO$ là phân giác $\widehat {ADN}$

b) Xét ${\rm{\Delta }}DBP$ và ${\rm{\Delta }}DAB$ có

$\widehat {BDP}\;$chung; $\widehat {DBP} = \widehat {DAB}$

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }}DBP \sim {\rm{\Delta }}DAB$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AD}}{{DB}}$

Tương tự ta có ${\rm{\Delta }}DCP \sim {\rm{\Delta }}DAC \Rightarrow \frac{{AC}}{{CP}} = \frac{{AD}}{{DC}}$

$ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AC}}{{CP}} \Rightarrow AB.CP = AC.BP$

Áp dụng định lý Ptoleney cho tứ giác ABPC nội tiếp ta có

$AP.BC = AB:CP + AC.BP$

$ \Rightarrow 2AP.CM = 2AC.BP \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{CM}}$

${\rm{\Delta }}ABP$ và ${\rm{\Delta }}AMC$ có $\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{CM}}\;;\;\widehat {APB} = \widehat {ACM}$

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABP \sim {\rm{\Delta }}AMC$ (c.g.c) $ \Rightarrow \widehat {ABP} = \widehat {AMC}$

Lại có tứ giác ABPF nội tiếp nên $\widehat {ABP} = {180^\diamondsuit } - \widehat {AFP}$

Lại có tứ giác AMEF nội tiếp nên $\widehat {AME} = {180^\diamondsuit } - \widehat {AFB}$

$ \Rightarrow \widehat {AFP} = \widehat {AFE} \Rightarrow E,\;F,\;P$ thẳng hàng

c) Áp dụng hệ thức lượng cho ${\rm{\Delta }}OCD$ vuông tại C ta có

$OM.OD = O{C^2} = O{F^2} \Rightarrow \frac{{OF}}{{OM}} = \frac{{OD}}{{OF}}$ $ \Rightarrow {\rm{\Delta }}OMF \sim {\rm{\Delta }}OFD\;$ (c.g.c)

$ \Rightarrow \widehat {OFD} = \widehat {OMF} = {90^\diamondsuit } - \widehat {CMF} = {90^\diamondsuit } - \widehat {FAE} = {90^\diamondsuit } - \widehat {AFO}\;$

$ \Rightarrow AFD = {90^\diamondsuit } \Rightarrow AF \bot FD$ mà $AF \bot FK$

$ \Rightarrow DF = DK \Rightarrow D,\;F,\;K$ thẳng hàng

Gọi $Z,\;X$ là giao $FN$ với $BC,\;DM$.

Gọi $T$ là giao $KZ$ với $MF$.

Ta có $D{C^2} = DK.DF = DM.DO \Rightarrow $ Tứ giác OMKF nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KOF\;} = 2\widehat {OAF} = 2\widehat {FMS}\;$

$ \Rightarrow \widehat {KME} = \widehat {FME} = \widehat {FAO} = \widehat {KNF}$$ \Rightarrow $ Tứ giác MNKZ nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {KZM} = {180^\diamondsuit } - \widehat {MNK} = {90^\diamondsuit }$

Lại có ${\rm{\Delta }}TMK$ có MZ là đường cao đồng thời là phân giác

$ \Rightarrow ZT = ZK$

Do $TK//DM \Rightarrow \frac{{ZT}}{{MX}} = \frac{{FZ}}{{FX}} = \frac{{ZK}}{{DX}}$

$ \Rightarrow XD = XM \Rightarrow $ X là trung điểm của đoạn DM.

Vậy FN đi qua trung điểm của đoạn DM

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Vĩnh Phúc có đáp án

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng