Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ( {AB < AC),\] nội tiếp đường tròn

4/5

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right),\] nội tiếp đường tròn $\left( O \right).$Ba đường cao $AD,BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cùng đi qua điểm $H.$ Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $Q.$ Gọi $M$ và $I$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$và $AH.$ Đường thẳng $IM$ cắt đường thẳng $EF$ tại điểm $K.$

1) Chứng minh tam giác $AEK$ đồng dạng với tam giác $ABM.$

2) Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S,$ đường thẳng $SI$cắt đường thẳng $MQ$ tại điểm $T.$ Chứng minh bốn điểm $A,T,H$ và $M$ cùng thuộc một đường tròn.

3) Tia $TH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $P.$ Chứng minh ba điểm $A,K$ và $P$ là ba điểm thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ( {AB < AC),\] nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

1) $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AFHE$ (nội tiếp)

$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $BFEC$ (nội tiếp)

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IM \bot EF}\\{EK = KF}\end{array}} \right.$ (đường nối tâm)

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2KE}}{{2BM}} = \frac{{KE}}{{BM}}}\\{\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.$

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ( {AB < AC),\] nội tiếp đường tròn (ảnh 2)$

2)Có $\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}$ suy ra tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ đường kính $AH.$

Có $\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = {90^0}$ suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ đường kính $BC.$

Suy ra $IM \bot EF$ tại $K$ hay $SK \bot IM.$

Suy ra $Q$ là trực tâm của $\Delta ISM \Rightarrow MT \bot ST$ tại $T.$

Ta có $\widehat {MTI} = \widehat {MDI} = {90^0} \Rightarrow $ Tứ giác \[ITDM\] nội tiếp đường tròn đường kính $IM\,\,(1)$

Ta có $IA = IE \Rightarrow \Delta IEA$ cân tại $I \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {MCE}.$

Mà $\widehat {IAE} + \widehat {MCE} = {90^0}$ suy ra $\widehat {IEA} + \widehat {MEC} = {90^0}$ suy ra $\widehat {MEI} = {90^0}.$

Tương tự ta cũng có $\widehat {MFI} = {90^0}$ do đó $E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $IM.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm $I,T,F,M,E$cùng thuộc đường tròn đường kính $IM.$

Suy ra $QT.QM = QE.QF.$

Lại có tứ giác $AFHE$ nội tiếp suy ra $QF.QE = QH.QA.$

Từ đó suy ra $QT.QM = QH.QA$ suy ra tứ giác $ATHM$ nội tiếp.

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ( {AB < AC),\] nội tiếp đường tròn (ảnh 3)$

3)Ta có $AO \bot EF$

$ \Rightarrow \widehat {KAO} = \widehat {DAM} \Rightarrow \widehat {DAK} = \widehat {MAO} = \widehat {AMI}\left( {IM\parallel AO} \right)$

Có $\widehat {AMI} = \widehat {AMT} - \widehat {TMI} = \widehat {AHT} - \widehat {IDT} = \widehat {DTH}$ (do \[ATHM\]nội tiếp; $TIMD$ nội tiếp)

Trên tia đối $HT$ lấy điểm $P'$ sao cho $ATDP'$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {DAP'} = \widehat {DTH} = \widehat {AMI} = \widehat {DAK}$

$ \Rightarrow A,K,P'$ thẳng hàng (1)

Do $ATDP'$ nội tiếp $ \Rightarrow HT.HP' = HD.HA = HB.HE = HC.HF$

$ \Rightarrow BP'ET$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {TP'B} = \widehat {TEH}$

Tương tự: $\widehat {TP'C} = \widehat {TFH}$

Ta có: $\widehat {FTE} = \widehat {FIE} = 2\widehat {BAC}$ (do $FTIE$ nội tiếp)

$ \Rightarrow \widehat {TEH} + \widehat {TFH} = {360^0} - \widehat {FTE} - \widehat {FHE} = {360^0} - 2.\widehat {BAC} - \left( {{{180}^0} - \widehat {BAC}} \right) = {180^0} - \widehat {BAC}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BP'C} = \widehat {TP'C} + \widehat {TP'B} = {180^0} - \widehat {BAC}\\ \Rightarrow \widehat {BP'C} + \widehat {BAC} = {180^0}\end{array}$

$ \Rightarrow ABP'C$ nội tiếp $ \Rightarrow P' \in \left( O \right) \Rightarrow P' \equiv P$ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra $A,K,P$ thẳng hàng.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Toán Hà Nội có đáp án

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn ( {AB < AC),\] nội tiếp đường tròn