Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H .

a. Ta có \(\Delta ADB\) vuông tại \(D\) (do \(AD\) là đường cao).

    Do đó \(A,D,B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

   \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao). Do đó \(A,E,B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

Từ đó ta có bốn điểm \(A,B,D,E\)cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AB\)

b. Vì \(AK\)là đường kính của \((O)\) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta ABD\) và\(\Delta AKC\) có

\(\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung\(AC\) )

   \(\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

Do đó (g-g).

c. Ta có \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao)

Do đó \(B,E,C\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

Mà \(I\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BEC\) nên \(I\)là trung điểm của \(BC\).

Do đó \(IE = IB = IC\) suy ra \(\Delta BIE\) cân tại \(I\). Khi đó \(\widehat {IBE} = \widehat {IEB}\).         \((1)\)

Ta cũng có \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao)

Do đó \(A,E,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\).

Mà \(F\)là trung điểm\(AH\)nên \(F\)là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEH\)

Do đó \(FE = FH\) suy ra \(\Delta FEH\)cân tại \(F\). Khi đó \(\widehat {FEH} = \widehat {FHE}\)             \((2)\)

Mặt khác\(\Delta BHD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DBH} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) hay \[\widehat {IBE} + \widehat {BHD} = 90^\circ \]  \((3)\)

Mà \(\widehat {FHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)   \((4)\)

Từ \((1)\), \((2)\), \((3)\) và \((4)\) suy ra \(\widehat {FEH} + \widehat {IEB} = 90^\circ \) hay \[\widehat {IEF} = 90^\circ \]

Vậy \(EF\) là tiếp tuyến của \((I)\)