Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng BC. a)

7/9

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $S$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến đường thẳng $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ đến các đường thẳng $SO$ và

$SC$ .Chứng minh $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

c) Vẽ đường cao $CE$ của . Qua $Q$ là trung điểm của $BE$. Đường thẳng $QD$ cắt đường thẳng $AH$ tại $K$. Chứng minh $BQ \cdot BA = BD \cdot BI$ và đường thẳng $CK$ song song với đường thẳng $SO$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng BC. a) Chứng minh tứ giác S A O I là tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)

a) Vì $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến đường thẳng $BC$

$ \Rightarrow OI \bot BC$$ \Rightarrow \widehat {SIO} = 90^\circ $$ \Rightarrow \Delta SOI$ vuông tại $I$

$ \Rightarrow 3$ điểm $S,O,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$$\left( 1 \right)$

Vì $SA$ là tiếp tuyến tại của đường tròn $\left( O \right)$

$ \Rightarrow SA \bot OA$$ \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ $$ \Rightarrow \Delta SAO$ vuông tại $A$

$ \Rightarrow 3$ điểm $S,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ bốn điểm $S,A,O,I$ cùng thuộc đường kính $SO$

Do đó tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

Vậy tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tứ giác nội tiếp $SAOI$ có:

$\widehat {SOA} = \widehat {SIA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ) $\left( 3 \right)$

Xét $\Delta AOH$ vuông tại $H$, ta có:

$\widehat {OAH} + \widehat {SOA} = 90^\circ $ (Tổng ba góc trong tam giác) $\left( 4 \right)$

Xét $\Delta ADI$ vuông tại $D$, ta có:

$\widehat {IAD} + \widehat {SIA} = 90^\circ $ (Tổng ba góc trong tam giác) $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$, $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra: $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$

Vậy $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

c) Xét $\Delta OBC$, ta có: $OB = OC = R$

$ \Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O$

Mà \[OI \bot BC\]

$ \Rightarrow OI$ là đường trung tuyến

$ \Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$

Xét $\Delta BCE$ ta có: $I$ là trung điểm của $BC$; $Q$ là trung điểm của $BE$

$ \Rightarrow IQ$ là đường trung bình (định nghĩa)

$ \Rightarrow IQ{\rm{ // }}CE$(tính chất)

Mà $CE \bot AB$

$ \Rightarrow IQ \bot AB$ (từ vuông góc đến song song)

$ \Rightarrow \widehat {BQI} = 90^\circ $

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BIQ$, ta có:

$\widehat {ABC}$ chung

$\widehat {ADB} = \widehat {BQI} = 90^\circ $

$\Rightarrow Δ B A D ∽ Δ B I Q$ (g.g)

$ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$ \Rightarrow BQ \cdot BA = BD \cdot BI$(đpcm)

Vì $\frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}$(cmt) $ \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}$

Xét $\Delta BDQ$ và $\Delta BAI$, ta có:

$\widehat {ABC}$ chung

$\frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}$

$\Rightarrow Δ B D Q ∽ Δ B A I$ (c.g.c)

$ \Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {BDQ}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {KDC} = \widehat {BDQ}$ (hai góc đối đỉnh)

$ \Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {KDC}$$\left( * \right)$

Ta có:

$\widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \frac{1}{2}.\widehat {AOC} = 90^\circ - \frac{1}{2}.\left( {180^\circ - 2\widehat {OAC}} \right)$(vì $\Delta OAC$ cân tại $O$)$ = \widehat {OAC}$

$ \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {BAD} + \widehat {IAD} = \widehat {OAC} + \widehat {OAH} = \widehat {KAC}$$\left( { * * } \right)$

Từ $\left( * \right)$ và $\left( { * * } \right)$$ \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KAC}$

Gọi $M$ là giao điểm của $AK$ và $DC$

$\Rightarrow Δ D M K ∽ Δ A M C$

$ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MA}} = \frac{{MK}}{{MC}}$$ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MA}}{{MC}}$

$ \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MKC} = 90^\circ $

$ \Rightarrow AK \bot KC$

Mà $AK \bot SO$

\[ \Rightarrow CK{\rm{ // }}SO\] (từ vuông góc đến song song)

Vậy $BQ \cdot BA = BD \cdot BI$ và \[CK{\rm{ // }}SO\].