Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn ( O ) . Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn ( O ) tạ điểm E ( E khác A ). Gọi K là chân đường vuông
Ta có hình vẽ của bài toán:
a) Vì \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(AD \bot BC\) tại \(D\), mà \(E \in AD\)
Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {BDE} = \widehat {CDE} = 90^\circ .\)
Có \(EK \bot AB\) tại \(K\) nên \(\widehat {EKB} = \widehat {EKA} = 90^\circ .\)
Ta có \(\widehat {EDB} = 90^\circ \) nên \(\Delta EDB\) vuông tại \(D\), suy ra \(\Delta EDB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\)
Suy ra ba điểm \(D,B,E\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\). (1)
Ta có \(\widehat {EKB} = 90^\circ \Rightarrow \Delta EKB\) vuông tại \(K\), suy ra \(\Delta EKB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\)
Suy ra ba điểm \(K,B,E\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(E,D,K,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[BE\].
2) Vì bốn điểm \(E,D,K,B\) cùng thuộc một đường tròn, nên tứ giác \(BDEK\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(\widehat {KED} + \widehat {KBD} = 180^\circ \) (tính chất), mà \(\widehat {ABC} + \widehat {KBD} = {180^{\rm{o}}}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {KED} = \widehat {ABC}\)
Mà \(\widehat {AEC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của \(\left( O \right)\)) nên \(\widehat {KED} = \widehat {AEC}\).
Vậy \(EA\) là tia phân giác của góc \(CEK\)
*) Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(J \Rightarrow AJ\) là đường kính của \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {ACJ} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACJ\) có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} = \widehat {AJC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của \(\left( O \right)\))
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACJ} = 90^\circ \)
(hai góc tương ứng) \( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {SAC}\).
Ta có: \[\widehat {BEA} = \widehat {BCA}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn của \(\left( O \right)\)), hay \(\widehat {BEA} = \widehat {SCA}\).
Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta ACS\) có
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AS}}\) (tỉ số đồng dạng) hay \(AB.AC = AE.AS\) (điều phải chứng minh).
c) Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow BH \bot AC\) tại \(V \Rightarrow \widehat {AVH} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta AVH\) và \(\Delta ADC\) có
Mà \[\widehat {BEA} = \widehat {ACB}\] và \[\widehat {AHV} = \widehat {BHE}\] (hai góc đối đỉnh), suy ra \[\widehat {BEA} = \widehat {BHE}\] hay \[\widehat {BEH} = \widehat {BHE}\], khi đó \(\Delta BHE\) cân tại \(B\), có \(BD\) là đường cao nên \(BD\) cũng đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta BHE \Rightarrow DH = DE = \frac{{HE}}{2}\).
Xét \(\Delta ABS\) và \(\Delta AEC\) có
Có tứ giác \(BDEK\) nội tiếp nên \(\widehat {EKD} = \widehat {EBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn hay \(\widehat {EKD} = \widehat {EBC}\,)\)
Lại có \(\widehat {EBC} = \widehat {EAC}\), suy ra \(\widehat {EKD} = \widehat {BAS}\).
Xét \(\Delta ABS\) và \(\Delta KED\) có:
Xét \(\Delta BIS\) và \(\Delta EKH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{BI}}{{BS}} = \frac{{EK}}{{EH}}\\\widehat {IBS} = \widehat {KEH}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BIS} = \widehat {EKH}\) (hai góc tương ứng).
Gọi \(U\) là giao điểm của \(KH\) và \(IS\).
Ta có: \(\widehat {BIS} + \widehat {IKH} = \widehat {EKH} + \widehat {IKH} = \widehat {EKA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {KIU} + \widehat {IKU} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta IKU\) có \(\widehat {KIU} + \widehat {IKU} + \widehat {IUK} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong một tam giác).
\( \Rightarrow \widehat {IUK} = 180^\circ - \left( {\widehat {KIU} + \widehat {IKU}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow IS \bot KH\) (điểu phải chứng minh).