Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến

4/5

tại điểm $A$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc

kẻ từ điểm $O$ đến đường thẳng $BC$.

1) Chứng minh tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \[{\rm{A}}\] đến các đường thẳng $SO$ và

$SC$. Chứng minh $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

3) Vẽ đường cao $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $BE$. Đường thẳng

$QD$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $K$. Chứng minh $BQ.BA = BD.BI$ và đường thẳng $CK$ song

song với đường thẳng $SO$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến (ảnh 1)$

1) Chứng minh tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác $SAOI$ có: $\widehat {SAO} = 90^\circ $ (tính chất của tiếp tuyến); $\widehat {SIO} = 90^\circ $ ($OI \bot BC$);

$\widehat {SAO} + \widehat {SIO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Hai góc $\widehat {SAO}$ và $\widehat {SIO}$ đối nhau

$ \Rightarrow $ Tứ giác $SAOI$ nội tiếp đường tròn đường kính $SO$.

2) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \[{\rm{A}}\] đến các đường thẳng $SO$ và $SC$. Chứng minh $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến (ảnh 2)$

Theo ý a), ta có: Tứ giác $SAOI$ nội tiếp nên $\widehat {SOA} = \widehat {SIA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn );

$ \Rightarrow 90^\circ - \widehat {SOA} = 90^\circ - \widehat {SIA}$;

Mà $90^\circ - \widehat {SOA} = \widehat {OAH}$ ($\Delta AHO$ vuông tại $H$); $90^\circ - \widehat {SIA} = \widehat {IAD}$ (\[\Delta ADI\] vuông tại $D$)

$ \Rightarrow \widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

3) Vẽ đường cao $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $BE$. Đường thẳng $QD$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $K$. Chứng minh $BQ.BA = BD.BI$ và đường thẳng $CK$ song song với đường thẳng $SO$.

Vì $OI \bot BC \Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây), mà $Q$ là ttrung điểm của $BE \Rightarrow IQ$ là đường trung bình của $\Delta BEC \Rightarrow IQ{\rm{//}}CE$ mà $CE \bot AB \Rightarrow IQ \bot AB \Rightarrow \widehat {IQA} = 90^\circ $, lại có $\widehat {IDA} = 90^\circ \left( {AD \bot SC} \right) \Rightarrow $ Tứ giác $AQDI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI \Rightarrow $ $\widehat {QAI} + \widehat {QDI} = 180^\circ $ mà $\widehat {BDQ} + \widehat {QDI} = 180^\circ $ (hai góc kề bù) $ \Rightarrow \widehat {BDQ} = \widehat {QAI}\left( { = 180^\circ - \widehat {QDI}} \right)$.

Xét $\Delta BDQ$ và $\Delta BAI$ có:

$\widehat B$ chung; $\widehat {BDQ} = \widehat {BAI}$ (chứng minh trên);

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến (ảnh 3)$

$ \Rightarrow \frac{{BD}}{{BQ}} = \frac{{BA}}{{BI}} \Rightarrow BQ.BA = BD.BI$.

Vì $\widehat {BDQ} = \widehat {KDC}$ (hai góc đối đỉnh) $ \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {BAI}$ (1);

Ta có: $\widehat {SAB} + \widehat {BAO} = 90^\circ \left( {SA \bot OA} \right)$; $\widehat {DAC} + \widehat {ACD} = 90^\circ $ ($\Delta ADC$ vuông tại $D$); mà $\widehat {BCA} = \widehat {SAB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

$ \Rightarrow \widehat {BAO} = \widehat {DAC}$ hay $\widehat {BAD} = \widehat {OAC}$ lại có $\widehat {DAI} = \widehat {HAO}$ (ý 2)) $ \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {KAC}$ (2);

Từ (1) và (2), ta có: $\widehat {KAC} = \widehat {KDC} \Rightarrow $ tứ giác $DKCA$ nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AKC} = 90^\circ \Rightarrow AK \bot CK$, mà $AK \bot SO \Rightarrow SO{\rm{//}}KC$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Nội có đáp án

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến