Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E ∈ AC, F ∈ AB).

a)Xét ∆ ABE và ∆ ACF có:

A^ chung

AEB^ = AFC^= 90° (Vì BE và CF lần lượt vuông góc với AC và AB)

Do đó ∆ ABE ᔕ ∆ ACF (g.g).

b)Ta có: ∆ABE ᔕ ∆ACF

⇒ AEAF = ABAC

⇒AEAB = AFAC 

Xét ∆ AEF và ∆ ABC có:

A^ chung

AEAB = AFAC (cmt)

Do đó ∆ AEF ᔕ ∆ ABC (c.g.c).

c)

+ Xét ∆ AIE và ∆ ACK ta có:

A^ chung

AIE^ = ACK^= 90°

Do đó ∆ AIE ᔕ ∆ ACK (g.g).

⇒ AEAK = AIAC

⇒ AE.AC = AI. AK (đpcm)

+ Vì BE và CK cùng vuông góc với AC nên: BE // CK hay là BH // CK (1)

 Ta có: AEAB = AFAC (cmt)

⇔ AE.AC = AF.AB

Mà AE.AC = AI. AK (cmt)

⇒AF.AB = AI. AK

⇒ AFAK=AIAB

Xét ∆ AIF và ∆ ABK ta có:

AFAK=AIAB(cmt)

FAI^ chung

⇒ ∆ AIF ~ ∆ ABK (c – g – c)

⇒ AIF^=ABK^=90°(hai góc tương ứng)

⇒ BK ⊥ AB

Mà CF ⊥ AB

⇒ BK // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCK là hình bình hành.