Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AK , BE và CF cắt nhau tại H . Gọi I là trung điểm của đoạn AH , N là trung điểm của đoạn B C . a) Chứng minh bốn điểm A ,

14/21

Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn. Các đường cao $AK$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AH$, $N$ là trung điểm của đoạn $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $E$, $H$, $F$ nằm trên cùng một đường tròn.

b) Chứng minh $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$.

c) Chứng minh $C{I^2} - I{E^2} = CK.CB$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọ (ảnh 1)$

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $E$, $H$, $F$ nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \](do $BE$ là đường cao của ΔABC) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \]

\[\widehat {{\rm{AF}}C} = 90^\circ \] (do $CF$ là đường cao của ΔABC) hay \[\widehat {{\rm{AF}}H} = 90^\circ \]

Xét tứ giác \[AEHF\]có \[\widehat {AEH} + \widehat {AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Mà\[\widehat {AEH}\], \[\widehat {{\rm{AF}}H}\] ở vị trí đối nhau

Do đó tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Suy ra bốn điểm $A,E,H,F$ cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

b) Chứng minh $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$;

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$ nên $I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$

Suy ra $IA = IE$

Þ $\Delta IAE$ cân tại I

Þ ${\widehat {\rm{A}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{\widehat {\rm{E}}_{\rm{1}}}$ (1)

\[\Delta EBC\] vuông tại \[E\]có \[EN\] là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]

Þ $EN = NC\,\,\,\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)$

Þ \[\Delta ENC\] cân tại \[N\]

Þ $\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}$ (2)

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] hay \[\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ${\widehat {\rm{E}}_{\rm{1}}} + {\widehat E_4} = 90^\circ $

Lại có ${\widehat {\rm{E}}_{\rm{1}}} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ $ (do A, E, C thẳng hàng)

$ \Rightarrow 90^\circ + \widehat {IEN} = 180^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {IEN} = 90^\circ $

Suy ra $EN \bot EI$ tại $E$

Do đó $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)

c) Chứng minh \[C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\].

Áp dụng định lí Py – Ta – Go $\Delta CIK$ vuông tại $K$, ta có: $C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}$

Lại có $IA = IE = IH$ (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Þ \[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH) = C{K^2} + AK.KH\] $\left( 4 \right)$

Ta lại có \[CK.CB = CK(CK + KB) = C{K^2} + CK.KB\] $\left( 5 \right)$

Xét $\Delta KBH$ và $\Delta KAC$ có

$\widehat {KBH} = \widehat {KAC}$(Cùng phụ với $\widehat {ACB}$); \[\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]

Do đó \[\left( {g - g} \right)\]

$ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}$$ \Rightarrow KA.KH = KB.KC$ hay $AK.KH = CK.KB$ $\left( 6 \right)$

Từ \[\left( 4 \right)\],$\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\] (đpcm)