Cho tam giác ABC có AC=5cm, ^A=60∘, ^B=45∘. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho AI=3cm.
Ý a): Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} \Rightarrow BC = \frac{{AC \cdot {\rm{sin}}A}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{5 \cdot {\rm{sin}}{{60}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{5 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}{\rm{\;cm}}\)
Do đó ý a) ĐÚNG.
Ý b): Xét tam giác \(ACI\), ta có cạnh \(AC = 5\), cạnh \(AI = 3\) và góc kẹp giữa \(\hat A = {60^ \circ }\). Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ACI\):
\(C{I^2} = A{C^2} + A{I^2} - 2 \cdot AC \cdot AI \cdot {\rm{cos}}A\)
\(C{I^2} = {5^2} + {3^2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ } = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19\)
\( \Rightarrow CI = \sqrt {19} {\rm{\;cm}}\)
Do đó ý b) ĐÚNG.
Ý c): Tổng ba góc trong tam giác \(ABC\) bằng \({180^ \circ }\):
\(\hat C = {180^ \circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = {75^ \circ }\)
Vì cả ba góc \(\hat A = {60^ \circ },\hat B = {45^ \circ },\hat C = {75^ \circ }\) đều nhỏ hơn \({90^ \circ }\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn, không phải tam giác tù. Do đó ý c) SAI.
Ý d): Trong tam giác \(ACI\), áp dụng định lý sin để tìm góc \(\widehat {AIC}\):
\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\widehat {AIC}}} = \frac{{CI}}{{{\rm{sin}}A}} \Rightarrow {\rm{sin}}\widehat {AIC} = \frac{{AC \cdot {\rm{sin}}{{60}^ \circ }}}{{CI}} = \frac{{5 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {19} }} \approx 0,9921\)
Suy ra \(\widehat {AIC} \approx 97,{3^ \circ }\) (chọn góc tù vì nhìn hình vẽ hoặc thông qua kiểm tra tính chất cạnh đối diện lớn hơn).
Khi đó, hai góc kề bù: \(\widehat {BIC} = {180^ \circ } - \widehat {AIC} = {180^ \circ } - 97,{3^ \circ } = 82,{7^ \circ }\).
Cách khác: Xét tam giác \(BIC\) có góc \(\hat B = {45^ \circ }\). Ta cần tìm góc \(\widehat {BCI}\). Sử dụng định lý sin hoặc định lý cos tính cạnh \(AB\) trước rồi suy ra góc đều cho kết quả \(\widehat {BIC} \approx {83^ \circ }\).
Do đó con số \({95^ \circ }\) là không chính xác. Do đó ý d) SAI.