Cho tam giác ABC có AB=8,AC=5 và ˆBAC=120∘. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) ĐÚNG: Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot {\rm{sin}}{120^ \circ } = 20 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \).

b) SAI: Áp dụng định lí cosin tính cạnh \(BC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}A\)

\(B{C^2} = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot {\rm{cos}}{120^ \circ } = 64 + 25 - 80 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 89 + 40 = 129 \Rightarrow BC = \sqrt {129} \).

c) ĐÚNG: Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):

\(R = \frac{{BC}}{{2{\rm{sin}}A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {43} \).

d) ĐÚNG: Vì \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AM = \frac{{AB}}{2} = 4\).

Xét tam giác \(AMC\) có \(AM = 4,AC = 5,\widehat {MAC} = {120^ \circ }\). Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AMC\):

\(M{C^2} = A{M^2} + A{C^2} - 2 \cdot AM \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {MAC}\)

\(M{C^2} = {4^2} + {5^2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot {\rm{cos}}{120^ \circ } = 16 + 25 - 40 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 41 + 20 = 61 \Rightarrow MC = \sqrt {61} \).