Cho tam giác ABC có AB < AC . Tia phân giác ˆ BAC cắt cạnh BC tại điểm D . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt các đ

4/11

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC.$ Tia phân giác $\widehat {BAC}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Qua điểm $M$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $AD$ cắt các đường thẳng $AC,\,\,AB$ lần lượt tại $E$ và $K.$ Chứng minh rằng:

a) Tam giác $AEK$ cân.

b) $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) $BK = EC.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Vì $AD\,{\rm{//}}\,KM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {BKM}$ (đồng vị).

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {CEM}$ (đồng vị).

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Do đó $\widehat {BKM} = \widehat {CEM},$ lại có $\widehat {CEM} = \widehat {AEK}$ nên $\widehat {BKM} = \widehat {AEK}$ hay $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.$

$Cho tam giác $ABC$ có \(AB < AC (ảnh 1)$

Tam giác $AEK$ có $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}$ nên là tam giác cân tại $A.$

b) Xét $\Delta ACD$ có $EM\,{\rm{//}}\,AD,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.$

Mà $\Delta AEK$ cân tại $A$ nên $AK = AE.$

Lại có điểm $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC.$

Do đó $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) Xét $\Delta BMK$ có $AD\,{\rm{//}}\,KM,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}$ nên $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},$ do đó $EC = BK.$