Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a. Gọi D là trung điểm AC, M là điểm thỏa mãn

Ta có: \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]

Suy ra: BM =\(\frac{1}{3}\)BC và M thuộc BC

Lấy E là trung điểm MC

Suy ra: EM = EC = \(\frac{1}{2}\)MC = \(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}BC\)

Nên BM = ME = EC

M là trung điểm BE.

Ta có D, E là trung điểm AC, CM

DE là đường trung bình ΔAMC

DE // AM.

Gọi AM ∩ BD = F.

DE // MF

Mà M là trung điểm BE

MF là đường trung bình ΔBDE

F là trung điểm BD

Ta có: AC = 2AB, D là trung điểm AC

AD = AB = \(\frac{1}{2}\)AC

ΔABD cân tại A.

Mà F là trung điểm BD nên ΔABD cân tại A có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

Do đó AF ⊥ BD.

Suy ra AM ⊥ BD.