Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm và đường cao AH. Tính độ dài AH.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\]

\[B{C^2} = 100\]

\[ \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]

\[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại A.

Đặt BH = a (cm, a > 0); CH = 10 – a (cm)

*) Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\]

\[ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - {a^2} = 36 - {a^2}\] (1)

*) Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\]

\[ \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {8^2} - {\left( {10 - a} \right)^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\[36 - {a^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\]

\[36 - {a^2} = 64 - (100 - 20a + {a^2})\]

\[36 - {a^2} = 64 - 100 + 20a - {a^2}\]

\[ - {a^2} + {a^2} - 20a = - 100 - 36 + 64\]

\[ - 20a = - 72\]

\[a = 3,6\,\,(tm)\]

Suy ra BH = 3,6 cm.

Khi đó, \[A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04\]

\[ \Rightarrow AH = 4,8\,\,cm\]

Vậy AH = 4,8 cm.