Cho tam giác ABC có A(1; 2), B (-3; -1), và C (3; -4). Tìm điều kiện

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 3} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {3; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng AB là: 3(x – 1) – 4(y – 2) = 0 ⇔ 3x – 4y + 5 = 0

Tương tự: phương trình đường thẳng BC là: x + 2y + 5 = 0

Phương trình đường thẳng AC: 3x + y – 5 = 0

Để M nằm trong tam giác ABC thì thỏa mãn:

– M, A nằm cùng phía đối với BC

– M, B nằm cùng phía đối với AC

– M, C nằm cùng phía đối với AB

Suy ra M nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 5 > 0\\3x + y - 5 < 0\\3x - 4y + 5 > 0\end{array} \right.\)

Thay M\(\left( {m;\frac{{m - 5}}{3}} \right)\) vào hệ bất phương trình trên ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}m + 2.\frac{{m - 5}}{3} + 5 > 0\\3m + \frac{{m - 5}}{3} - 5 < 0\\3m - 4.\frac{{m - 5}}{3} + 5 > 0\end{array} \right.\]

⇒ –1 < m < 2.

Vậy –1 < m < 2 thì M nằm trong tam giác ABC.