Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh:

Kẻ đường cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G

Tam giác AHD vuông tại H nên AH ≤ AD

⇒ BCAH≥BCAD1

Ta có: cotC+cotB=CHAH+BHAH=BCAH≥BCAD (2)

Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Suy ra: BC = 2GD (3)

Mà G là trọng tâm nên 3GD = AD (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ cotC+cotB≥BCAD=2GD3GD=23.