Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB (gt), nên suy ra

2AB – BM + CN = 2AB ⇔ – BM + CN = 0 ⇔ BM = CN.

Vậy BM = CN (đpcm).

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

MEB^=ACB^ (hai góc đồng vị) nên ∆BME cân tại M ⇒ BM = ME mà BM = CN nên ME = CN.

CNI^ = IME^ (hai góc so le trong)

MEI^ = NCI^ (hai góc so le trong)

Ta chứng minh được  ΔMEI = ΔNCI  (g . c . g)

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt),

MIK^ = NIK^ = 900

IK là cạnh chung. Do đó BAK^ = CAK^

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt),BAK^ = CAK^ (do BK là tia phân giác của BAC^), AK là cạnh chung, do đó ΔABK = ΔACK(c . g . c) 

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó

ΔBKM = ΔCKN(c . c . c) suy ra MBK^ = KCN^. Mà MBK^ = ACK^⇒ACK^ = KCN^ = 1800 : 2 = 900⇒KC⊥AN. (đpcm)