Cho tam giác ABC cân tại A , vẽ AH vuông góc với BC tại H

6/6

(3,0 điểm)Cho \(\Delta ABC\)cân tại \[A\], vẽ\[AH\]vuông góc với \(BC\) tại \(H\)\[\left( {H \in BC} \right).\]

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BH,\) trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(N\) sao cho \(MN = MA.\) Chứng minh \(AH = BN\) và \[AH\,{\rm{//}}\,BN.\]

c) Gọi\[I\]là trung điểm của \(NC.\) Chứng minh ba điểm \(A,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét\(\Delta AHB\) và\(\Delta AHC\)có:

\(AH\) là cạnh chung;

\(AB = AC\)(vì \(\Delta ABC\)cân tại \[A\]);

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Do đó\(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Xét\(\Delta AHM\) và\(\Delta NBM\) có:

\(MH = MB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BH\,);\)

\(MA = MN\) (gt)

\(\widehat {AMH} = \widehat {BMN}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó\(\Delta AHM = \Delta NBM\) (c.g.c).

Suy ra\(AH = BN\) (hai cạnh tương ứng).

\(\widehat {HAM} = \widehat {MNB}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc \(\widehat {HAM}\) và \(\widehat {MNB}\) ở vị trí so le trong nên \[AH\,{\rm{//}}\,BN.\]

Vậy \(AH = BN\) và \[AH\,{\rm{//}}\,BN.\]

c) Ta có\(HB = HC\) (vì \(\Delta AHB = \Delta AHC\,).\)

Mà \(HB = 2HM\) nên \(HC = 2HM\), suy ra \(HC = \frac{2}{3}CM.\)

Khi đó \(CM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ACN\) nên \(H\) là trọng tâm \(\Delta ACN.\)

Mặt khác \(AI\) là đường trung tuyến của \(\Delta ACN.\)

Do đó \(H \in AI\) nên ba điểm \(A,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng (đpcm).