Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của BC , D là hình chiếu của H trên AC , M là trung điểm của HD . Tính vecto AM ⋅ vecto BD

Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\). Ta có: \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD}  = \overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {HD} ;\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} )\)

Do đó: \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {HD} )\)\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {HC}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {HD} )\),

mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HC}  = 0({\rm{ do }}AH \bot BC)}\\{\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {HD}  = 0({\rm{ do }}HD \bot AC)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {HC} )\)

\( = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HD}  + (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HD} ) \cdot \overrightarrow {HC} ]\)

\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HD}  + \underbrace {\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {HD}  \cdot \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD}  \cdot (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\).

Vậy \(AM \bot DB\).