Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua BC. Chứng minh rằng tứ giác ABEC là hình thoi.

Gọi H là giao điểm của AE và BC

Tam giác BAC cân có AH là đường cao nên H là trung điểm của BC

Suy ra: HB = HC

Xét tam giác HAB và tam giác EHC có:

AH = EH

AHB^=EHC^=90°

HB = HC

⇒ ∆AHB = ∆EHC (c.g.c)

Suy ra: AB = CE (1)

Xét tam giác AHC và tam giác EHB có:

HB = HC

AHC^=EHB^=90°

AH = EH

⇒ ∆AHC = ∆EHB (c.g.c)

Suy ra: AC = EB (2)

Mà tam giác ABC cân nên AB = AC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AB = AC = EC = BE

Nên ABCE là hình thoi.