Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AI. Hiển nhiên K thuộc (O) (vì \(\widehat {AKI} = 90^\circ \))

ΔABC cân tại A có AH là đường cao (gt) nên AH đồng thời là đường trung tuyến Þ HB = HC.

Xét ABKC vuông tại K có KH là đuờng trung tuyến nên \(KH = BH = \frac{{BC}}{2}\)

Do đó ΔBHK cân tại H \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {BKH}\) (1)

Lại có ΔIOK cân tại O (OI=OK=R)

\[ \Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {OKI}\]mà \[ \Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_1}}\] (đối đỉnh)

\[ \Rightarrow \widehat {OKI} = \widehat {{I_1}}\](2)

Mặt khác ΔBHI vuông tại H (gt) nên \[\widehat {{B_1}} + \widehat {{I_1}} = 90^\circ \] (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có: \[\widehat {BKH} + \widehat {OKI} = 90^\circ \] hay HK ^ OK

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).