Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O. a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật. b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I

a) Xét tứ giác AECD, có:

Hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O

O là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của DE (E đối xứng với D qua O)

Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.

Ta lại có AD⊥BC⇒ADC^=900

⇒AECD là hình chữ nhật.

b) Vì AECD là hình chữ nhật nên AD = CD và AD // CD hay AD // BD.

Xét ΔABC cân tại A, có AD là đường cao nên AD cũng là đường là đường trung tuyến

⇒D là trung điểm của BC.

⇒BD = DC

Mà AD = DC

⇒AD = DB

Xét ABDE có AD = DB và AD // BD nên ABDE là hình bình hành

Mặt khác I là trung điểm AD

Do đó I là trung điểm của BE.

c) Ta có: BD=DC=BC2=122=6cm (D là trung điểm của BC)

Xét tam giác ADC có:

O là trung điểm AC

I là trung điểm của AD

⇒ OI là đường trung bình tam giác ADC

⇒OI // DC và OI=12DC=12.6=3cm.

Mà DC⊥AD (gt)

⇒OI⊥AD

Xét ΔABD vuông tại D, có:

AB² = AD² + DB² (định lý Py – ta – go)

10² = AD² + 6²

100 = AD² + 36

AD² = 100 – 36

AD² = 64

AD = 8 cm.

Diện tích tam giác OAD là:

 SOAD=12.AD.OI=12.8.3=12(cm2).

d) Ta có ABDE là hình bình hành nên AB // DE hay AK // DE

Suy ra AKDE là hình thang.

Nên để AKDE là hình thang cân thì AED^=KDE^ (hai góc kề một đáy bằng nhau)

Mà AED^=ABD^ (hai góc đối trong hình bình hành ABDE)

Tứ giác AODK có hình bình hành nên KAO^=KDE^

⇒KAO^=ABC^

⇒ΔABC đều.