Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK.

Gọi E là giao điểm của CK và AB.

Tam giác CDK vuông tại D có đường cao DI nên KD² = KI . KC

Mà KD = KA nên KA² = KI . KC

⇒  KAKI=KCDA

Xét ΔKAI và ΔKCA có:

KAKI=KCDA

K^ chung

⇒ ΔKAI ∽ ΔKCA (c.g.c)

⇒ KIA^=KAC^

mà KAC^=KAE^ (do AK là tia phân giác BAC^) nên KIA^=KAE^

Từ đó suy ra: ΔEAK ∽ ΔEIA (g.g) ⇒ EKA^=EAI^

Hay DKC^=BAI^

Hơn nữa DKC^=IDC^ (cùng phụ với DCK^) nên DKC^=BAI^

⇒ Tứ giác IABD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

⇒AIB^=ADB^

Mà ADB^=90°

Nên AIB^=90°.