Cho tam giác ABC cân tại A có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây là sai? A. AG là đường trung trực của ED; B. GD + GE < 1/2BC; C. BD = CE; D. DB = 3EG.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

•Vì D là trung điểm của AC nên AD = DC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB = AC (do DABC cân tại A)

Suy ra AE = AD = BE = CD. Do đó phương án C là đúng.

•Xét DEBC và DDCB có:

BE = CD (chứng minh trên),

\(\widehat {DCB} = \widehat {EBC}\)(do DABC cân tại A),

BC là cạnh chung

Do đó DEBC = DDCB (c.g.c)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Xét DABC có trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy raEG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD

Mà BD = EC (chứng minh trên) nên EG = \(\frac{1}{3}\)BD hay BD = 3EG

Do đó phương án D là đúng.

• Ta có EG = \(\frac{1}{3}\)CE và GD = \(\frac{1}{3}\)BD

Mà BD = EC nên EG = GD.

Suy ra G nằm trên đường trung trực của ED.

Lại có AE = AD nên A cũng nằm trên đường trung trực của ED.

Do đó AG là đường trung trực của ED nên phương án A là đúng.

•Xét DBCG, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

BG + CG > BC

Suy ra \(\frac{1}{2}\)BG + \(\frac{1}{2}\)CG > \(\frac{1}{2}\)BC

Mà GD = \(\frac{1}{2}\)BG, GE = \(\frac{1}{2}\)CG (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Do đó GD + GE > \(\frac{1}{2}\)BC nên phương án B là sai.

Vậy ta chọn phương án B.