Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH, kẻ BK vuông góc AC. Chứng minh: 1/BK^2 = 1/4BC^2 + 1/4AH^2

Lời giải

Trên tia CA lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Vì tam giác ABC cân tại A nên BA = AC

Suy ra \(BA = \frac{1}{2}CE\)

Xét tam giác BCE có BA là trung tuyến và \(BA = \frac{1}{2}CE\)

Suy ra tam giác EBC vuông tại E

Hay BC ⊥ BE

Mà BC ⊥ AH nên AH // BE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác EBC có AH // BE và A là trung điểm của CE

Suy ra \[{\rm{A}}H = \frac{1}{2}BE\]

Xét tam giác BEC vuông tại B có BK là đường cao

Suy ra \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}}\)

Do đó \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{4B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{4B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\).