Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng :

* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức 1h2=1b2+1c2 ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.

* Trình bày lời giải

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.            

Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến ⇒ BH = HC.

Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD ( ⊥ BC )

⇒ CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).

Nên AH là đường trung bình của Δ BCD

 AH =  AH=12BD⇒ BD = 2AH. (1)

Xét BCD có DBC^=900; BK ⊥ CD ( K ∈ CD )

⇒1BK2=1BC2+1BD2  (2)

Từ (1) và (2) ⇒1BK2=1BC2+14AH2 (đpcm)