Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính của đường tròn (O).

Kẻ đường kính \(AD\) cắt \(BC\)tại \(H\) ta có \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\).

Theo định lí Pythagore \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\)

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {13^2} - {5^2} \Rightarrow AH = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} \)

\( \Rightarrow AH = 12\left( {cm} \right)\).

Xét tam giác \(ABD\) có \(BO\) là đường trung tuyến mà \(BO = AO = DO\)hay \(BO = \frac{1}{2}AD\) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\widehat {BAD}\) chung và \(\widehat {ABD} = \widehat {AHB} = {90^0}\)

Do đó \(\Delta ABD \sim \Delta AHB\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AD.AH\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{A{B^2}}}{{AH}} = \frac{{{{13}^2}}}{{12}} = 14,1\left( {cm} \right)\)

Vậy bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC\): \(R = \frac{{14,1}}{2} = 7,05\left( {cm} \right)\).