Cho tam giác ABC biết độ dài ba đường trung tuyến lần lượt bằng 15, 18, 27. a) Tính diện tích tam giác ABC.

a) Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra AIGI=3.

Kẻ AH ⊥ BC và GK ⊥ BC (H, K ∈ BC).

Suy ra AH // GK.

Áp dụng định lí Thales, ta được: AHGK=AIGI=3.

Khi đó SABCSGBC=12.AH.BC12.GK.BC=AHGK=3.

Suy ra S_ABC = 3S_GBC.

Lấy D là điểm đối xứng với G qua I.

Suy ra I là trung điểm của GD.

Khi đó tứ giác BGCD là hình bình hành.

Suy ra SGBC=SBGD=12SBGCD .

Do đó S_ABC = 3S_BGD.

Giả sử m_a = 15, m_b = 18, m_c = 27.

Suy ra BG=23.mb=23.18=12BD=CG=23.mc=23.27=18

Ta có I là trung điểm của GD.

Suy ra . GD=2GI=2.13AI=23.ma=23.15=10

Nửa chu vi của tam giác BGD là: p=GD+BD+BG2=10+18+122=20.

Diện tích của tam giác BGD là: SBGD=pp−BGp−GDp−BD=402.

Suy ra SABC=3SBGD=3.402=1202.

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 1202.