Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm AE. Chứng minh rằng BE = 2BD.

Gọi I, M lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung;

AB = AC (giả thiết);

BM = CM (M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Ta có D, I lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra AC = 2CD và AB = 2BI.

Mà AB = AC (giả thiết).

Do đó 2CD = 2BI hay CD = BI.

Xét ∆BCI và ∆CBD, có:

BC là cạnh chung;

 CBI^=BCD^(∆ABM = ∆ACM);

BI = CD (chứng minh trên).

Do đó ∆BCI = ∆CBD (c.g.c).

Suy ra CI = BD (cặp cạnh tương ứng).

Tam giác ABE có C, I lần lượt là trung điểm của AE, AB.

Suy ra CI là đường trung bình của tam giác ABE.

Do đó CI // BE và 2CI = BE.

Mà CI = BD.

Vậy BE = 2BD.