Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.

a) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AMO^=ANO^= 90°

AK là đường cao của tam giác ABC nên AKO^=AKC^= 90°

Ba điểm M, K, N cùng nhìn đoạn AO dưới một góc vuông nên năm điểm M, K, N, A, O thuộc đường tròn đường kính AO.

Vậy tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM = AN (1)

Theo chứng minh câu trên, năm điểm M, K, N, O, A cùng thuộc một đường tròn nên ta có tứ giác AMKN nội tiếp

Từ (1) và (2) suy ra AKM^=AKN^ (các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau). Vậy KA là tia phân giác của MKN^

c) ANH^=AKM^AKM^=AKN^ ⇒ AKN^=ANH^

∆ANK và ∆ANH có:

⇒ ∆AHN ~ ∆ANK (g.g)

AKN^=ANH^

KAN^=HAN^

Suy ra: ANAK=AHAN hay AN² = AH.AK (3)     

d) Gọi D là giao điểm của AC và (O)

∆AND và ∆CAN có NAD^=NAC^,AND^=ACN^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên ∆AND ~ ∆CAN (g.g)

Suy ra: ANAC=ADAN  hay AN² = AD.AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AH.AK = AD. AC hay AHAC=ADAK

Xét ∆AHD và ∆ACK có:

 HAD^=KAC^AHAC=ADAK ⇒∆AHD ~ ∆ACK (c.g.c)

 ⇒ ADH^=AKC^=90°. Dẫn đến HDC^=90° (5)

Điểm D thuộc đường tròn đường kính BC nên BDC^=90°(6)

Từ (5) và (6) suy ra: B, H, D thẳng hàng

Nghĩa là BH ⊥ AC. Lại có: AH ⊥ BC nên H là trực tâm của tam giác ABC.