Cho tam giác ABC, 2AN / NC = BE / 3BN , AE kéo dài cắt BC tại M. Biết .

a) Vì tam giác ABE và tam giác ABN cùng chiều cao từ \(A\) và\(BE = \frac{2}{3}BN\), nên:

\({S_{ABE}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABN}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,\)(cm²)

b) Tam giác ABN và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh B và AN = \(\frac{1}{2}\) AC nên: \({S_{ABN}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\,\), suy ra \({S_{ABC}} = 2 \times {S_{ABN}} = 2 \times 6 = 12\)(cm²)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times BC \times AH\) nên \(AH = 2 \times {S_{ABC}}:BC = 2 \times 12:4 = 6\,\,({\rm{cm)}}\)

c) Ta có: \({S_{ABE}} = 2{S_{AEN}}\) (Chung chiều cao hạ từ A và BE = 2 EN)

Ta có : \({S_{AEC}} = 2{S_{AEN}}\) (Chung chiều cao hạ từ E và AC = 2 AN)

Suy ra \({S_{ABE}} = {S_{AEC}}\) , mà hai tam giác này chung đáy AE suy ra đường cao hạ từ B bằng đường cao hạ từ C xuống đáy AE, đây cũng là hai đường cao của hai tam giác ABM và ACM

Suy ra: \({S_{ABM}} = {S_{ACM}}\)(chung đáy AM, đường cao hạ từ B xuống AM bằng đường cao hạ từ C xuống AM)

Do đó, trong tam giác \(ABC\) thì: \(BM = MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\,({\rm{cm)}}\)

Đáp số: a) 4 cm²

                 b) 6 cm

              c) 2 cm