Cho tam giác A B C vuông tại A ( A B < A C ) . Kéo dài C A một đoạn sao cho A E = A B . Kẻ E K ⊥ B C ( K nằm trên đường thẳng B C ) . a) Viết các tỉ số lượng gi

7/8

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$. Kéo dài $CA$ một đoạn sao cho $AE = AB.$ Kẻ $EK \bot BC\,\,$$(K$ nằm trên đường thẳng $BC).$

a) Viết các tỉ số lượng giác của $\widehat {EBK}$.

b) Cho $EC = 16{\rm{\;cm}}$ và $\widehat {C\,} = 30^\circ $. Tính độ dài cạnh $EK$ và $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Giả sử $EK$ cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có:

$\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$; $\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EB}}$

$\tan \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{KB}};\,\,\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EK}}$.

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$. Kéo dài $CA$ một đoạn sao cho $AE = AB.$ Kẻ $EK \bot BC\,\,$$(K$ nằm trên đường thẳng $BC).$ (ảnh 1)$

b) Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat {AEB} = 45^\circ .$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat {EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Theo câu a, ta có $\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$.

Suy ra $EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8,3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.$

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$. Kéo dài $CA$ một đoạn sao cho $AE = AB.$ Kẻ $EK \bot BC\,\,$$(K$ nằm trên đường thẳng $BC).$ (ảnh 2)$

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$.

Suy ra $QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$

Do đó \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}$

Suy ra \[\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]