Cho tam giác A B C , đường trung tuyến B D . Trên tia đối của tia D B , lấy điểm E sao cho D E = D B . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B C và C E . Gọi I , K lần lượt là gia
11/20
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\). Trên tia đối của tia \(DB\), lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DB\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CE\). Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là giao điểm của \(AM,\,\,AN\) với \(BE\).
Khi đó:
\(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(DI = 2BI\).
\(DI = DK\).
\(BI = IK > KE\).
a) Đúng.
Tam giác \(ABC\) có \(AM,\,\,BD\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(I\).
Suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
b) Sai.
Khi đó \(BI = \frac{2}{3}BD\) (1)
Vì vậy \(BD - ID = \frac{2}{3}BD\).
Suy ra \(ID = \frac{1}{3}BD\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(BI = 2ID\) (*)
c) Đúng.
Chứng minh tương tự, ta được \(EK = 2DK\) (**)
Ta có \(DB = DE\) (giả thiết)
Suy ra \(DI + BI = DK + KE\).
Khi đó \(DI + 2DI = DK + 2DK\).
Vì vậy \(3DI = 3DK\) hay \(DI = DK.\)
Suy ra \(DI = DK\)(***)
d) Sai.
Khi đó \(DI + DK = DK + DK\).
Vì vậy \(IK = 2DK\) (****)
Từ (*), (**), (***), (****), suy ra \(BI = IK = KE\).