Cho tam giác A B C có hai đường cao A D và B E cắt nhau tại H thỏa mãn H D / H A = 1 / 2 .

7/8

Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$ thỏa mãn $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}.$

a) Viết các tỉ số lượng giác của $\widehat {ABE}.$

b) Biết $AH = BD = 2{\rm{\;cm}}$, tính số đo góc $B$ và độ dài cạnh $AB,$ độ dài đường cao $BE$ (làm tròn đến phút đối với số đo góc và làm tròn đến hàng phần mười đối với cm).

c) Chứng minh rằng $\tan B \cdot \tan C = 3$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$\sin \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{AB}},\,\,\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}},$ $\tan \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{BE}},$ $\cot \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AE}}.$

$Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$ thỏa mãn $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}.$ (ảnh 1)$

b) Do $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}$ nên $AH = 2HD$

Suy ra $AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD.$

Ta có $HD = \frac{1}{2}HA = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1{\rm{\;(cm)}}$ và $AD = 3HD = 3 \cdot 1 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có:

⦁ $\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 56^\circ 19'$.

⦁ $A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = {3^2} + {2^2} = \sqrt {13} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta HBD$ vuông tại $D$ ta có:

$\tan \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 26^\circ 34'$.

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {B\,} - \widehat {HBD} \approx 56^\circ 19' - 26^\circ 34' = 29^\circ 45'$.

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$BE = AB \cdot \cos \widehat {ABE} \approx \sqrt {13} \cdot \cos 29^\circ 45' \approx 3,1{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta HBD$ và $\Delta CAD$ có:

$\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ $ và $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (do hai góc này cùng cộng với $\widehat {C\,}$ bằng $90^\circ )$

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $BD \cdot CD = HD \cdot AD$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có: $\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}.$

Khi đó \[\tan B \cdot \tan C = \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{HD \cdot AD}} = \frac{{AD}}{{HD}} = \frac{{3HD}}{{HD}} = 3.\]