Cho tam giác A B C có đường cao A H . Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến A B , A C . Chứng minh rằng

11/11

Cho tam giác $ABC$ có đường cao$AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,\,\,AC.$ Chứng minh rằng $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có đường cao$AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,\,\,AC.$ Chứng minh rằng $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C$. (ảnh 1)$

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có: $\cos \widehat {DAH} = \frac{{AD}}{{AH}}.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.$

Suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $A{H^2} = AD \cdot AB$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: $A{H^2} = AE \cdot AC$.

Do đó $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ hay $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat {BAC}$ là góc chung và $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$

Do đó (c.g.c), suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}}$ và $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$.

⦁ Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có $AH = AB \cdot \sin B$.

Suy ra ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có: ${S_{\Delta ADE}} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E$

Khi đó, $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E}}{{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B}} = \frac{{DE}}{{CB}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{\sin E}}{{\sin E}}$ (do $\widehat {B\,} = \widehat {E\,})$

Suy ra $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}$ (do $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}})$

Do đó $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2}$

Xét $\Delta AHE$ vuông tại $E$ ta có: $\frac{{AE}}{{AH}} = \cos \widehat {HAC} = \sin C$ (do $\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ )$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B$

Từ đó, ta có $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\sin C \cdot \sin B} \right)^2} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$

Vậy $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$