Cho số thực a và hàm số f(x) = 2x, a(x-2x^2)

69/100

Cho số thực \(a\) và hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{ khi }}x \le 1}\\{a\left( {x - 2{x^2}} \right)}&{{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính \(\int_0^2 f (x){\rm{dx}}\).

\(\frac{8}{3}\)

\( - \frac{1}{3}\).

\(\frac{{22}}{3}\).

\( - \frac{7}{3}\)

Giải thích

Vì hàm số liên tục trên R nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x - 2{x^2}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x) \Leftrightarrow a = - 2.\)

Ta có \(\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {2x\;{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 { - 2\left( {x - 2{x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{22}}{3}.\)