Cho số phức z thỏa |z^2 - 2z + 5| = |(z - 1+ 2i) (z = 3i - 1)|

Ta có \({z^2} - 2z + 5 = {\left( {z - 1} \right)^2} + 4 = {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = \left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right).\)

Khi đó, giả thiết \[ \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \cdot \left| {z + 3i - 1} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 1 - 2i}\\{\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|}\end{array}} \right.\]

• TH1: Với \(z = 1 - 2i\), ta có \(w = z - 2 + 2i = 1 - 2i - 2 + 2i =  - 1 \Rightarrow \left| w \right| = 1.\)

• TH2: Với \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\,\,(*)\), đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có \((*) \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + \left( {y + 3} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {y^2} - 4y + 4 = {y^2} + 6y + 9 \Leftrightarrow 10y =  - 5 \Rightarrow y =  - \frac{1}{2}.\)

Do đó \[w = z - 2 + 2i = x - \frac{1}{2}i - 2 + 2i = x - 2 + \frac{3}{2}i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \frac{9}{4}}  \ge \frac{3}{2}.\]

Vậy \(\min \left| w \right| = 1.\) Đáp án: 1.