Cho số phức z thỏa mãn ∣ z + ¯¯¯ z ∣ + ∣ z − ¯¯¯ z ∣ = 2 . Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
Đáp án
Phát biểu | Đúng | Sai |
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ là một hình vuông có tọa độ một đỉnh là \(\left( { - 2;0} \right)\). | X | |
Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z - 2i} \right|\) là \(M = 3\). | X |
Giải thích
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có
\(2 = \left| {z + \overline z \left| + \right|z - \overline z \left| = \right|a + bi + a - bi\left| + \right|a + bi - \left( {a - bi} \right)\left| = \right|2a\left| + \right|2bi} \right| = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\)
Do đó \(\left| a \right| + \left| b \right| = 1\). Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đồ thị của \(\left| x \right| + \left| y \right| = 1\) trên mặt phẳng tọa độ (hình vuông \(EFGH\) với \(E\left( { - 1;0} \right),F\left( {0; - 1} \right),G\left( {1;0} \right),H\left( {0;1} \right))\).
Gọi \(B\left( {0;2} \right),I\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) bất kì trên mặt phẳng tọa độ.
\(P = \left| {z - 2i\left| = \right|z - \left( {0 + 2i} \right)} \right| = BI\).
Dễ dàng thấy rằng \({\rm{max}}BI = BF = 3\). Do đó \(M = 3\).