Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z - 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất |z|

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ) ta được:

|(x + 1) + (y + 1)i| = |x − (y + 2)i|

Û (x+1)²+(y+1)²=x²+(y+ 2)²

Û 2x+1+2y+1=4y+4

Û x − y – 1=0.

Do đó tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng x − y − 1 = 0.

Từ hình vẽ ta thấy |z| đạt GTNN khi

\(\left| z \right| = OH = d\left( {O,\;\left( \Delta \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)