Cho số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z - 1} \right| = 5\]. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[w\] xác định bởi \[w = \left( {2 + 3i} \right)\bar z + 3 + 4i\] là một đường tròn bán kính

Ta có \(\left| {z - 1} \right| = \left| {\overline {z - 1} } \right| = \left| {\bar z - 1} \right| = 5\) mà \(w = \left( {2 + 3i} \right)\bar z + 3 + 4i \Leftrightarrow \bar z = \frac{{w - 3 - 4i}}{{2 + 3i}}\).

Suy ra \[\left| {\frac{{w - 3 - 4i}}{{2 + 3i}} - 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - 5 - 7i}}{{2 + 3i}}} \right| = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - 5 - 7i} \right|}}{{\left| {2 + 3i} \right|}} = 5 \Leftrightarrow \left| {w - 5 - 7i} \right| = 5\sqrt {13} \].

Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w\] là đường tròn tâm \[I\left( {5\,;\,\,7} \right),\] bán kính \[R = 5\sqrt {13} .\]

Suy ra \({R^2} = {\left( {5\sqrt {13} } \right)^2} = 325.\)

Đáp án: 325.