Cho số phức z có phần thực là số nguyên và thỏa mãn

Gọi z=a+bi; a,b∈ℝ; i2=−1; a là số nguyên. Theo đề ta có

|z|−2z¯=−7+3i+z

⇔a2+b2−2a+2bi=−7+3i+a+bi

⇔(a2+b2−2a)+2bi=(−7+a)+(3+b)i

⇔a2+b2−2a=−7+a2b=3+b⇔a2+9=3a−7b=3⇔a≥738a2−42a+40=0b=3

⇔a≥73a=4a=54b=3

Khi đó z=4+3i

Vậy w=1−z+z2=4+21i⇒w=457.