Cho số nguyên tố p sao cho 43p + 1 là lập phương của một số tự nhiên. Số nguyên tố p là

Đáp án “5”

Phương pháp giải

Đặt \(43p + 1 = {n^3}(n \in N)\)

Lời giải

Đặt \(43p + 1 = {n^3}(n \in N)\) thì \(43p = (n - 1)\left( {{n^2} + n + 1} \right)\)

Số 43p có bốn ước nguyên dương là 1,43, p, 43p

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n - 1 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{n^2} + n + 1 = 43p}\end{array}} \right.\) khi đó n = 2 và \(43p = {2^2} + 2 + 1 = 7\), loại.

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n - 1 = 43\,\,\,\,\,\,}\\{{n^2} + n + 1 = p}\end{array}} \right.\)  khi đó n = 44 và \(p = {44^2} + 44 + 1 = 1981:7\), loại.

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{n^2} + n + 1 = 43}\\{n - 1 = p\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) khi đó n(n + 1) = 42 ⇒ n = 6, p = 5 (là số nguyên tố).

Đáp số p = 5.