Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q^2 + + q^(n - 1)

+) Khi n = 1, ta có: 1 = 1−q1−q=1−q11−q.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1} = 1−qk+11−q. 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} = 1−qk1−q. 

Khi đó:

1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1}

= (1 + q + q² +... + q^{k – 1})+ q^{(k + 1) – 1}

= 1−qk1−q + q^{(k + 1) – 1}

= 1−qk1−q + q^k

^{=1−qk1−q+qk1−q1−q}

^{=1−qk1−q+qk−qk+11−q}

^{=1−qk+qk−qk+11−q}

^{=1−qk+11−q.}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.