Cho phương trình x^2−4x−1=0 (*) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

Có Δ= 20 > 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Viète ta có:

\(\left\{ \begin{aligned}{x}_{1}+{x}_{2}&=4 \\ {x}_{1}.{x}_{2}&=-1\end{aligned} \right.\)

Vì \({x}_{1}\)là nghiệm của phương trình (*) nên \({x}_{1}^{2}-4{x}_{1}-1=0\)

\({x}_{1}^{2}=4{x}_{1}+1\)

\({x}_{1}^{3}={4x}_{1}^{2}+{x}_{1}\)

Ta có: A =\({x}_{1}^{3}+17{x}_{2}+2026\) = \({4x}_{1}^{2}+{x}_{1}+17{x}_{2}+2026\)

= 4.( \(4{x}_{1}+1)+{x}_{1}+17{x}_{2}+2026\)= \(16{x}_{1}+4+{x}_{1}+17{x}_{2}+2026\) = \(17.\left. {x}_{1}+{x}_{2} \right.+2030\) = 17 . 4 + 2030 = 2098