Cho phương trình x^2−2x+m+2=0. Tìm m để phương trình có nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1^2+x2^2=10.

Cách 1: Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m + 2\].

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi \[\Delta ' \ge 0\].

Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0\] hay \[m \le - 1\].

Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\].

Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]

\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]

\[ - 2m = 10\]

\[m = - 5\] (thỏa điều kiện \[m \le - 1)\].

Vậy để phương trình có nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) thì \[m = - 5.\]

Cách 2: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).

Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\]

Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]

\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]

\[ - 2m = 10\]

\[m = - 5\].

Thử lại: Với \[m = - 5\] ta có phương trình \[{x^2} - 2x - 3 = 0.\]

Vì \[ac = - 3 < 0\] nên phương trình có hai nghiệm.