Cho phương trình x^2−2mx+2m−3=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x1^2+x2^2 trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình.

Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - m\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = 2m - 3.\]

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( { - m} \right)^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.\]

Khi đó \[{m^2} - 2m + 3 \ge 0\]

\[{m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0\]

\[{\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\] (luôn đúng vì \[{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0{\kern 1pt} \] với mọi \[m\])

Theo hệ thức Viète, ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2m{\kern 1pt} ;\,{x_1}{x_2} = 2m - 3\]

Do đó \[A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right)\]

\[ = 4{m^2} - 4m + 6 = 4{m^2} - 4m + 1 + 5\]

\[ = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\] (luôn đúng vì \[{\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\])

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \[2m - 1 = 0\] hay \[m = \frac{1}{2}\].