Cho phương trình x^2−2(m+3)x+2m+1=0(1) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa

Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\,\,\,\,\,(1)\) có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {{b'}^2} - ac = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {2m + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1 = {m^2} + 4m + 8 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2m + 1\end{array} \right.\)

Theo đề \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10.\]

Hay \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 10\)

\(4{\left( {m + 3} \right)^2} - 2.\left( {2m + 1} \right) - 2.2.\left( {m + 3} \right) = 10\)

\(4{m^2} + 16m + 12 = 0\)

\[{m^2} + 4m + 3 = 0\]