Cho phương trình x^2 − mx − m^2 = 0 (1) (ẩn x, tham số m). Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1^2 − x2^2 + x1x2 = 2m. Tính giá trị biểu thức A = căn bậc hai c

Phương trình \({x^2} - mx - {m^2} = 0\) (1) (ẩn \(x\), tham số \(m\))

Ta có \(\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - {m^2}} \right) = 5{m^2}\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0\) hay \(5{m^2} > 0\). Do đó \(m \ne 0\)

Theo hệ thức Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} =  - {m^2}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Ta có \({x_1}^2 - {x_2}^2 + {x_1}{x_2} = 2m\)

\(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 2m\)

\(m\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + {m^2} = 2m\)

\(m\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 2m - {m^2}\)

Do \(m \ne 0\) nên \({x_1} - {x_2} = 2 - m\)\(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \({x_1} = \frac{{m + 2 - m}}{2} = 1\); \({x_2} = \frac{{m - 2 + m}}{2} = m\)

Thay  \({x_1} = \frac{{m + 2 - m}}{2} = 1\); \({x_2} = \frac{{m - 2 + m}}{2} = m\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được

\(m =  - {m^2}\)

\(m\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(m =  - 1\) (tmđk) hoặc \(m = 0\) (ktm)

Vậy \(A = \sqrt {{m^2} - m}  = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 1} \right)}  = \sqrt 2 \).