Cho phương trình: x2 – mx + m – 2 = 0 (với m là tham số) (1) a) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 2, khi đó tìm nghiệm còn lại. b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có

a) Phương trình (1) có một nghiệm bằng 2, ta thay x = 2 vào phương trình (1), ta được:

2² – m.2 + m – 2 = 0 Û 2 – m = 0 Û m = 2.

Có x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Vi-ét: x₁x₂ = ca= m – 2 hay x₁x₂ = 0.

Giả sử x₁ = 2 ta có: 2.x₂ = 0 Û x₂ = 0

Vậy phương trình (1) có một nghiệm bằng 2 khi m = 2 và nghiệm còn lại bằng 0.

b) Xét ∆ = b² – 4ac = (−m)² – 4(m – 2)² = m² – 4m + 8 = (m – 2)² + 4

Với mọi m, ta có (m – 2)² ≥ 0 Û (m – 2)² + 4 ≥ 4 > 0

Þ ∆ > 0.

Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m.

Theo hệ thức Vi-ét:  x1+x2=−ba=mx1x2=ca=m−2 

Nên x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = −1 Û m + 2(m – 2) = −1 Û 3m – 4 = −1 Û m = 1.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = −1 thì m = 1.