Cho phương trình \[{x^2} - (m - 4)x - m - 2 = 0\], với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của
\[\begin{array}{l}{x^2} - (m - 4)x - m - 2 = 0(1)\\\Delta ' = {(m - 4)^2} - 4( - m - 2) = {m^2} - 8m + 16 + 4m + 8 = {m^2} - 4m + 24 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0,\forall m\end{array}\]
\[ \Rightarrow \]Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Áp dụng định lí Vi-ét: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = m - 4}\\{{x_1}{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\]
\[\begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + {x_1}(m - 8 - {x_1}) = \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_2}(m - {x_2})\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}^2 + 2023} + {x_1}({x_1} + {x_2} - 4 - {x_1}) = \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_2}({x_1} + {x_2} - 4 - {x_2})\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}^2 + 2023} - \sqrt {{x_2}^2 + 2023} + {x_1}({x_2} - 4) - {x_2}({x_1} + 4) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}^2 - {x_2}^2}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} + {x_1}{x_2} - 4{x_1} - {x_1}{x_2} - 4{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} - 4({x_1} + {x_2}) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }}} \right) = 0(2)\end{array}\]
Ta có: \[\begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} > \sqrt {{x_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2} = \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|\\\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{x_1} - {x_2} \le \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|\\ \Rightarrow \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} < \frac{{\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|}}{{\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|}} = 1\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + 2023} + \sqrt {{x_2}^2 + 2023} }} - 4 < 0\\(2) \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\end{array}\]
Vậy m = 4.